Matemática básica Exemplos

$\frac{b + 9}{1} + \frac{4}{b^{2} + b - 6}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Divida $b + 9$ por $1$ .

$b + 9 + \frac{4}{b^{2} + b - 6}$

Etapa 1.2

Fatore $b^{2} + b - 6$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $1$ .

$- 2, 3$

Etapa 1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$b + 9 + \frac{4}{(b - 2) (b + 3)}$

Etapa 2

Para escrever $b$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$ .

$b \cdot \frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)} + \frac{4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Etapa 3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1

Combine $b$ e $\frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$ .

$\frac{b ((b - 2) (b + 3))}{(b - 2) (b + 3)} + \frac{4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Etapa 3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{b ((b - 2) (b + 3)) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1

Expanda $(b - 2) (b + 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{b (b (b + 3) - 2 (b + 3)) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Etapa 4.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{b (b \cdot b + b \cdot 3 - 2 (b + 3)) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{b (b \cdot b + b \cdot 3 - 2 b - 2 \cdot 3) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Etapa 4.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Multiplique $b$ por $b$ .

$\frac{b (b^{2} + b \cdot 3 - 2 b - 2 \cdot 3) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Etapa 4.2.1.2

Mova $3$ para a esquerda de $b$ .

$\frac{b (b^{2} + 3 \cdot b - 2 b - 2 \cdot 3) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$\frac{b (b^{2} + 3 b - 2 b - 6) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Etapa 4.2.2

Subtraia $2 b$ de $3 b$ .

$\frac{b (b^{2} + b - 6) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{b \cdot b^{2} + b \cdot b + b \cdot - 6 + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Etapa 4.4

Simplifique.

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Etapa 4.4.1

Multiplique $b$ por $b^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.4.1.1

Multiplique $b$ por $b^{2}$ .

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Etapa 4.4.1.1.1

Eleve $b$ à potência de $1$ .

$\frac{b^{1} b^{2} + b \cdot b + b \cdot - 6 + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Etapa 4.4.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{b^{1 + 2} + b \cdot b + b \cdot - 6 + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Etapa 4.4.1.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{b^{3} + b \cdot b + b \cdot - 6 + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Etapa 4.4.2

Multiplique $b$ por $b$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} + b \cdot - 6 + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Etapa 4.4.3

Mova $- 6$ para a esquerda de $b$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 \cdot b + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Etapa 4.5

Fatore $b^{3} + b^{2} - 6 b + 4$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 4.5.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Etapa 4.5.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Etapa 4.5.3

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 4.5.3.1

Substitua $1$ no polinômio.

$1^{3} + 1^{2} - 6 \cdot 1 + 4$

Etapa 4.5.3.2

Eleve $1$ à potência de $3$ .

$1 + 1^{2} - 6 \cdot 1 + 4$

Etapa 4.5.3.3

Eleve $1$ à potência de $2$ .

$1 + 1 - 6 \cdot 1 + 4$

Etapa 4.5.3.4

Some $1$ e $1$ .

$2 - 6 \cdot 1 + 4$

Etapa 4.5.3.5

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$2 - 6 + 4$

Etapa 4.5.3.6

Subtraia $6$ de $2$ .

$- 4 + 4$

Etapa 4.5.3.7

Some $- 4$ e $4$ .

$0$

Etapa 4.5.4

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $b - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4}{b - 1}$

Etapa 4.5.5

Divida $b^{3} + b^{2} - 6 b + 4$ por $b - 1$ .

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Etapa 4.5.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$b$

$1$

$b^{3}$

$b^{2}$

$6 b$

$4$

Etapa 4.5.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $b^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $b$ .

					$b^{2}$
	$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$

Etapa 4.5.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$b^{2}$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			+	$b^{3}$	-	$b^{2}$

Etapa 4.5.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $b^{3} - b^{2}$ .

				$b^{2}$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$

Etapa 4.5.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$b^{2}$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$

Etapa 4.5.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$b^{2}$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$

Etapa 4.5.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 b^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $b$ .

				$b^{2}$	+	$2 b$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$

Etapa 4.5.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$b^{2}$	+	$2 b$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					+	$2 b^{2}$	-	$2 b$

Etapa 4.5.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 b^{2} - 2 b$ .

				$b^{2}$	+	$2 b$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$

Etapa 4.5.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$b^{2}$	+	$2 b$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$

Etapa 4.5.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$b^{2}$	+	$2 b$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$	+	$4$

Etapa 4.5.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 4 b$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $b$ .

				$b^{2}$	+	$2 b$	-	$4$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$	+	$4$

Etapa 4.5.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$b^{2}$	+	$2 b$	-	$4$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$	+	$4$
							-	$4 b$	+	$4$

Etapa 4.5.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 4 b + 4$ .

				$b^{2}$	+	$2 b$	-	$4$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$	+	$4$
							+	$4 b$	-	$4$

Etapa 4.5.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$b^{2}$	+	$2 b$	-	$4$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$	+	$4$
							+	$4 b$	-	$4$
										$0$

Etapa 4.5.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$b^{2} + 2 b - 4$

Etapa 4.5.6

Escreva $b^{3} + b^{2} - 6 b + 4$ como um conjunto de fatores.

$\frac{(b - 1) (b^{2} + 2 b - 4)}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Etapa 5

Para escrever $9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$ .

$\frac{(b - 1) (b^{2} + 2 b - 4)}{(b - 2) (b + 3)} + 9 \cdot \frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Etapa 6

Simplifique os termos.

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Etapa 6.1

Combine $9$ e $\frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$ .

$\frac{(b - 1) (b^{2} + 2 b - 4)}{(b - 2) (b + 3)} + \frac{9 ((b - 2) (b + 3))}{(b - 2) (b + 3)}$

Etapa 6.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(b - 1) (b^{2} + 2 b - 4) + 9 ((b - 2) (b + 3))}{(b - 2) (b + 3)}$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Expanda $(b - 1) (b^{2} + 2 b - 4)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$\frac{b \cdot b^{2} + b (2 b) + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Etapa 7.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $b$ por $b^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.2.1.1

Multiplique $b$ por $b^{2}$ .

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Etapa 7.2.1.1.1

Eleve $b$ à potência de $1$ .

$\frac{b^{1} b^{2} + b (2 b) + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Etapa 7.2.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{b^{1 + 2} + b (2 b) + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Etapa 7.2.1.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{b^{3} + b (2 b) + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Etapa 7.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{b^{3} + 2 b \cdot b + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Etapa 7.2.3

Multiplique $b$ por $b$ somando os expoentes.

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Etapa 7.2.3.1

Mova $b$ .

$\frac{b^{3} + 2 (b \cdot b) + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Etapa 7.2.3.2

Multiplique $b$ por $b$ .

$\frac{b^{3} + 2 b^{2} + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Etapa 7.2.4

Mova $- 4$ para a esquerda de $b$ .

$\frac{b^{3} + 2 b^{2} - 4 \cdot b - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Etapa 7.2.5

Reescreva $- 1 b^{2}$ como $- b^{2}$ .

$\frac{b^{3} + 2 b^{2} - 4 b - b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Etapa 7.2.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{b^{3} + 2 b^{2} - 4 b - b^{2} - 2 b - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Etapa 7.2.7

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{b^{3} + 2 b^{2} - 4 b - b^{2} - 2 b + 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Etapa 7.3

Subtraia $b^{2}$ de $2 b^{2}$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 4 b - 2 b + 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Etapa 7.4

Subtraia $2 b$ de $- 4 b$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Etapa 7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + (9 b + 9 \cdot - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Etapa 7.6

Multiplique $9$ por $- 2$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + (9 b - 18) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Etapa 7.7

Expanda $(9 b - 18) (b + 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 7.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b (b + 3) - 18 (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Etapa 7.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b \cdot b + 9 b \cdot 3 - 18 (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Etapa 7.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b \cdot b + 9 b \cdot 3 - 18 b - 18 \cdot 3}{(b - 2) (b + 3)}$

Etapa 7.8

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.1.1

Multiplique $b$ por $b$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.1.1.1

Mova $b$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 (b \cdot b) + 9 b \cdot 3 - 18 b - 18 \cdot 3}{(b - 2) (b + 3)}$

Etapa 7.8.1.1.2

Multiplique $b$ por $b$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b^{2} + 9 b \cdot 3 - 18 b - 18 \cdot 3}{(b - 2) (b + 3)}$

Etapa 7.8.1.2

Multiplique $3$ por $9$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b^{2} + 27 b - 18 b - 18 \cdot 3}{(b - 2) (b + 3)}$

Etapa 7.8.1.3

Multiplique $- 18$ por $3$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b^{2} + 27 b - 18 b - 54}{(b - 2) (b + 3)}$

Etapa 7.8.2

Subtraia $18 b$ de $27 b$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b^{2} + 9 b - 54}{(b - 2) (b + 3)}$

Etapa 7.9

Some $b^{2}$ e $9 b^{2}$ .

$\frac{b^{3} + 10 b^{2} - 6 b + 4 + 9 b - 54}{(b - 2) (b + 3)}$

Etapa 7.10

Some $- 6 b$ e $9 b$ .

$\frac{b^{3} + 10 b^{2} + 3 b + 4 - 54}{(b - 2) (b + 3)}$

Etapa 7.11

Subtraia $54$ de $4$ .

$\frac{b^{3} + 10 b^{2} + 3 b - 50}{(b - 2) (b + 3)}$